die bank 01 // 2021

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MANAGEMENT 2 | Zeitlicher Verlauf der effektiven Sondertilgungsquote 1,3 % eff. Sondertilgungs-Quote 1,2 % 1,1 % 1,0 % 0,9 % 0 2 4 6 8 10 12 Jahr exakt Näherung Ermittlung der Vorfälligkeitsentschädigung zu berücksichtigen. Wie wir anhand des im später folgenden Kasten dargestellten finanzmathematischen Replikationsarguments zeigen, ermöglicht die Vorfälligkeitsentschädigung den Instituten, die ursprüngliche Risikoposition nach einer Kündigung weitestgehend wiederherzustellen. Der Unterschied zur ursprünglichen Risikoposition besteht demnach darin, dass gekündigte Verträge ab dem Zeitpunkt der Kündigung so behandelt werden müssen, als würden sämtliche vertraglichen Tilgungsrechte zukünftig maximal ausgeübt. Um den Einfluss dieser gegen Vorfälligkeitsentschädigung gekündigten Verträge auf die Sondertilgungsquote zu bestimmen, nehmen wir an, dass der Kunde in jedem Jahr seinen Vertrag mit der Wahrscheinlichkeit Q K vorzeitig gegen Vorfälligkeitsentschädigung ablöst. Im Fall einer Ablösung wird zukünftig für diesen Vertrag die vertraglich maximal zulässige (Sonder-) Tilgungsquote Q ST max angesetzt. Die Dauer der Anrechnung der maximalen Quote ist hierbei auf das Minimum aus der Zinsbindung des Darlehens und den Zeitpunkt der Vollauszahlung plus 10,5 Jahre begrenzt. Hintergrund ist, dass der Kunde 10,5 Jahre nach Vollauszahlung das Darlehen gemäß BGB § 489 ohne Vorfälligkeitsentschädigung ablösen darf. Falls der Kunde nicht ablöst, wird jeweils die dem Vertragsalter j entsprechende statistische Sondertilgungsquote Q (j) ST angesetzt. Das in der Abbildung ÿ 1 gezeigte Baumdiagramm verdeutlicht nochmals die jeweils für den Vertrag anzusetzenden Quoten. Im n-ten Jahr (n

MANAGEMENT 3 | Cashflow-Struktur ... ... eines ungekündigten Darlehens (li.) und Replikation der ungekündigten Cashflow-Struktur im Fall einer Kündigung (re.) Ohne Kündigung erhält die Bank die folgende CF-Struktur: Im Fall einer Kündigung erhält die Bank eine Vorfälligkeitsentschädigung und die CF-Struktur (a), kauft eine amortisierende FRN (b) und nutzt die Vorfälligkeitsentschädigung zum Kauf eines amortisierenden Receiver-Swaps (c). (a) (b) Kündigungszeitpunkt (c) t t t t Kündigungszeitpunkt Kündigungszeitpunkt Kündigungszeitpunkt Replikationsargument Im Folgenden zeigen wir mithilfe eines Replikationsarguments, wie die Bank im Fall einer vorzeitigen Ablösung gegen Vorfälligkeitsentschädigung die ursprüngliche Risikoposition näherungsweise wiederherstellen kann. Insbesondere zeigen wir, dass vorzeitig abgelöste Darlehen aus der Zinsrisikoperspektive wie ungekündigte Darlehen betrachtet werden können, bei denen der Kunde seine vertraglich vereinbarten Tilgungsrechte zukünftig maximal ausübt. Hierzu betrachten wir vereinfacht ein endfälliges Darlehen mit einer Zinsbindung von weniger als 10,5 Jahren. Wir nehmen ferner an, dass das Darlehen mit einem Sondertilgungsrecht ausgestattet ist, der Kunde (j) dieses jedoch nicht wahrnimmt, d. h. Q ST = 0. Die allgemeine Gültigkeit des Arguments bleibt dadurch unberührt. Wenn der Kunde nicht kündigt, erhält die Bank die auf der linken Seite von Abbildung ÿ 3 gezeigten Cashflows. Wenn der Kunde hingegen kündigt, erhält die Bank das Nominal wie in ÿ 3a gezeigt zum Kündigungszeitpunkt vorzeitig zurück. Zusätzlich erhält die Bank eine Vorfälligkeitsentschädigung, die unter Berücksichtigung aller dem Kunden zustehenden vertraglichen Tilgungsrechte ermittelt wurde. Die Höhe der Vorfälligkeitsentschädigung entspricht dadurch exakt dem Wert eines amortisierenden Receiver-Swaps mit dem Darlehenszins am Fix-Leg und einer Amortisationsstruktur, die das vertraglich vereinbarte maximale Sondertilgungsrecht widerspiegelt, vgl. ÿ 3c. Die Bank kann nun diesen Swap unter Verwendung der Vorfälligkeitsentschädigung eingehen und zusätzlich das zum Kündigungszeitpunkt vorzeitig erhaltene Nominal in einer amortisierenden Floating Rate Note (FRN) mit identischer Amortisationsstruktur anlegen, vgl. ÿ 3b. Die Bank kann also im Fall einer Kündigung die Summe der auf der rechten Seite der Abbildung dargestellten Cashflows erhalten. Diese Cashflow-Struktur entspricht der eines ungekündigten Darlehens, bei dem der Kunde jedoch ab dem Kündigungszeitpunkt seine vertraglich vereinbarten Tilgungsrechte maximal ausübt. Für Darlehen mit einer Zinsbindung von mehr als 10,5 Jahren kann eine Replikation nur für die ersten 10,5 Jahre nach Vollauszahlung des Darlehens erfolgen, da dem Kunden gemäß BGB § 489 anschließend ein jederzeitiges Kündigungsrecht ohne Vorfälligkeitsentschädigung zusteht. Ohne letztere kann die Bank nicht mehr kostenneutral den Receiver-Swap erwerben. Anmerkung: Falls die Zinsen seit der Darlehensvergabe gestiegen sind, hat die Bank keinen Anspruch auf eine Vorfälligkeitsentschädigung. Die vorgestellte Replikationsstrategie kann dennoch umgesetzt werden, da der in Abbildung ÿ 3c dargestellte Receiver-Swap in diesem Fall einen negativen Barwert hat. Die Bank ist somit in diesem Szenario nicht auf eine Vorfälligkeitsentschädigung angewiesen, sie erhält für den Abschluss des Swaps sogar noch eine barwertige Ausgleichszahlung. setzenden effektiven Sondertilgungsquote. Ausgehend von der rein statistischen Sondertilgungsquote Q ST führen vorzeitige Ablösungen in den ersten sieben Jahren zunächst zu einem Anstieg der anzusetzenden Quote. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die kumulierte Wahrscheinlichkeit einer Ablösung von Jahr zu Jahr zunimmt und demzufolge der Vertrag zu einem größeren Anteil so zu behandeln ist, als würde der Kunde seine Tilgungsrechte maximal nutzen. Nach sieben Jahren erwirbt der Kunde sein Kündigungsrecht gemäß BGB § 489, wodurch die Bank im Fall einer Ablösung keine Vorfälligkeitsentschädigung mehr verlangen darf. Die anzusetzende Sondertilgungsquote darf demnach nur noch den rein statistischen Anteil Q ST beinhalten. An dieser Stelle bietet sich ein Vergleich mit den etablierten Vorgehensweisen zur Ermittlung der Sondertilgungsquote an. Wenn vorzeitige Ablösungen gegen Vorfälligkeitsentschädigung nicht bei der Schätzung der Quote berücksichtigt werden, beträgt die Quote 1 Prozent p. a. und ist somit für den Großteil der Laufzeit zu gering angesetzt. Berücksichtigt man vorzeitige Ablösungen hingegen vollständig bei der Schätzung der Quote und ignoriert dabei den Einfluss der Vorfälligkeitsentschädigung, so wird die Quote mit (1- Q K ) Q ST + Q K . 1 ≈ 2,0 Prozent ausgewiesen und damit deutlich überschätzt. 01 // 2021 15