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14 02 | 2019 01a | Vergleich von DNN und Referenz-Pricer. Out of Sample. 01b | Fehlerhistogramm. Out of Sample. Quelle: d-fine GmbH. Use Case angemessen ist. Es mag beispielsweise sinnvoll sein, das Trainingsset um gestresste Marktszenarien zu erweitern, etwa unter Verwendung von CCAR- oder EBA-Stress-Szenarien. Darüber hinaus ist zu beachten, dass das DNN grundlegende No-Arbitrage-Relationen verletzen und beispielsweise negative Optionspreise produzieren kann, was ggf. Maßnahmen oder Kontrollen erforderlich macht. Schließlich ist anzumerken, dass ein DNN, das eine gegebene Bewertungsfunktion mit hoher Genauigkeit approximiert, aufgrund von möglichen Oszillationseffekten im Allgemeinen nicht via Ableitung zur Berechnung von Sensitivitäten herangezogen werden kann. Im Folgenden schildern wir eine von uns durchgeführte Fallstudie zur Approximation eines Bermudan Swaption Pricers durch ein DNN sowie zur Anwendung dieser Approximation im Rahmen einer Value-at-Risk-Rechnung. Training eines DNNs an einen Bermudan Swaption Pricer Als Referenz-Pricer zur Erzeugung eines Trainingsdatensets verwendeten wir den Bermudan Swaption Pricer der von d-fine entwickelten proprietären Bewertungsbibliothek MoCo; dieser Pricer basiert auf dem Hull-White-Modell 5 , und er involviert einen Zinskurven-Bootstrapper sowie einen numerischen PDE-Solver. Ausgehend von 2.000 historischen Marktszenarien für Zins- Par-Kurven (OIS- und 6M-Kurve mit insgesamt 46 Buckets pro Szenario) und implizite Swaption-Volatilitäten (396 Buckets pro Szenario) generierten wir 10.000 Input-Output-Paare (Samples), wobei wir die Geschäftslaufzeit zwischen 0 und 20 Jahren sowie das absolute Moneyness Level zwischen -1,5 und +1,5 Prozent zufällig variierten.
02 | 2019 15 Anschließend trainierten wir ein DNN an 87,5 Prozent der Samples, unter Verwendung von stochastischem Gradientenabstieg mit adaptiver Schätzung von Momenten 6 und abfallender Learning Rate. Hierbei kamen die frei verfügbaren Frameworks Python, Keras 7 und TensorFlow 8 zum Einsatz. Die verbleibenden 12,5 Prozent der Testdaten verwendeten wir für Out-of-Sample-Tests. Sinnvolle Hyperparameter (Feedforward mit sieben Layern und 64 Neuronen pro Layer, stückweise lineare Aktivierungsfunktionen, Learning Rate 0,01, Learning Rate Decay 0,005) wählten wir durch systematische Variation all dieser Hyperparameter, wobei das Ergebnis insbesondere gegenüber der Wahl einer geeigneten Learning Rate sensitiv war. Wie in Abbildung 1 ersichtlich, ist das trainierte DNN imstande, die Bewertungsfunktion auf hochdimensionalen Out-of-Sample-Inputs sehr gut zu approximieren. » 1a und » 1b Anwendung im Rahmen einer VaR-Rechnung Im Anschluss verwendeten wir das trainierte DNN im Rahmen einer Value-at-Risk-Rechnung (VaR-Rechnung). Hierfür betrachteten wir eine feste Bermudanische Swaption mit einer Laufzeit von zehn Jahren und einem Strike von einem Prozent, bei einer Forward Rate von 0,84 Prozent. Wir verwendeten ein historisches VaR-Modell basierend auf 1.000 historischen Inkrementen. In jedem der betrachteten 1.000 Marktszenarien wurde die Bewertung der Bermudanischen Swaption sowohl durch das DNN als auch durch Das Expertenhaus für Banking, Compliance und Digital Finance targens.de
